Question

6個大小相同的小球分別標有數字1，1，1，2，2，2，把它們放在一個盒子里，從中任意摸出兩個小球，它們所標有的數字分別為x，y，記ξ=x+y．
（1）求隨機變量ξ分布列及數學期望．
（2）設“函數f （x）=x²-ξx-1在區間（2，3）上有且只有一個零點”為事件A，求事件A發生的概率．

Answer 1

解：（1）由題知隨機變量ξ的可能取值為2，3，4．
從盒子中摸出兩個小球的基本事件總數為C₆²=15．
當ξ=2時，摸出的小球所標的數字為1，1，共有C₃²種．
∴P（ξ=2）=．
當ξ=3時，摸出的小球所標的數字為1，2，共有C₃¹•C₃¹種．
∴P（ξ=3）=．
當ξ=4時，摸出的小球所標的數字為2，2，共有C₃²種．
∴P（ξ=4）=．
∴ξ的分布列為

Eξ=2×+3×+4×=3．

（2）∵函數f（x）=x²-ξx-1在（2，3）上有且只有一個零點．
f（2）•f（3）＜0即（3-2ξ）（8-3ξ）＜0
∴且ξ=2，3，4
∴ξ=2．
∴P（A）=P（ξ=2）=．
分析：（1）由題知隨機變量ξ的可能取值為2，3，4．結合變量對應的事件，求每一個事件的概率，當變量是2時，從盒子中摸出兩個小球的基本事件總數為C₆²，摸出的小球所標的數字為1，1，共有C₃²種．得到概率，以此類推，寫出分布列和期望．
（2）首先整理函數f（x）=x²-ξx-1在（2，3）上有且只有一個零點時，要滿足的條件，根據實根存在性定理得到f（2）•f（3）＜0即（3-2ξ）（8-3ξ）＜0，求出變量的范圍，得到對應的ξ的值，根據第一問做出結果，得到概率．
點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，考查等可能事件的概率，考查函數零點的存在性定理，考查用概率知識解決數學問題，是一個綜合題目．