Question

如圖1，，，過動點A作，垂足D在線段BC上且異于點B，連接AB，沿將△折起，使（如圖2所示）．

（1）當的長為多少時，三棱錐的體積最大；
（2）當三棱錐的體積最大時，設點，分別為棱，的中點，試在棱上確定一點，使得，并求與平面所成角的大小．

Answer 1

（1）時,三棱錐的體積最大．（2）當時，．與平面所成角的大小．

試題分析：（1）設，則．又，所以.由此易將三棱錐的體積表示為的函數，通過求函數的最值的方法可求得它的最大值.
（2）沿將△折起后，兩兩互相垂直，故可以為原點，建立空間直角坐標系，利用空間向量即可找到點N的位置，并求得與平面所成角的大小．
試題解析：（1）解法1：在如圖1所示的△中，設，則．
由，知，△為等腰直角三角形，所以.
由折起前知，折起后（如圖2），，，且，
所以平面．又，所以．于是

，
當且僅當，即時，等號成立，
故當，即時,三棱錐的體積最大．
解法2：同解法1，得．
令，由，且，解得．
當時，；當時，．
所以當時，取得最大值．
故當時,三棱錐的體積最大．
（2）以為原點，建立如圖a所示的空間直角坐標系．
由（1）知，當三棱錐的體積最大時，，．
于是可得，，，，，，
且．
設，則.因為等價于，即
，故，.
所以當（即是的靠近點的一個四等分點）時，．
設平面的一個法向量為，由及，
得可取．
設與平面所成角的大小為，則由，，可得
，即．