Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，側面PAD丄底面ABCD,..

(1)求證：平面PAB丄平面PCD
(2)如果AB=BC=2,PB=PC=求四棱錐P-ABCD的體積.

Answer 1

(1) 見解析 (2)

試題分析：(1)欲證平面平面,只需證其中的一個平面經過另一平面的一條垂線即可，考慮到題設中所給的矩形以及面面垂直關系，易證：,從而平面；
(2)作，垂足為，連結；可證≌是的中點,
從而求得四棱錐的高,進一步求得四棱錐的體積.
試題解析：（Ⅰ）因為四棱錐的底面是矩形，所以，
又側面底面，所以．
又，即，而，所以平面．
因為PAÌ平面PAB，所以平面PAB⊥平面PCD．                     4分

（Ⅱ）如圖，作PO⊥AD，垂足為O，則PO⊥平面ABCD．
連結OB，OC，則PO⊥OB，PO⊥OC．
因為PB＝PC，所以Rt△POB≌Rt△POC，所以OB＝OC．
依題意，ABCD是邊長為2的正方形，由此知O是AD的中點．          7分
在Rt△OAB中，AB＝2，OA＝1，OB＝．
在Rt△OAB中，PB＝，OB＝，PO＝1．                          10分
故四棱錐P-ABCD的體積V＝AB2·PO＝．