Question

【題目】已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=3an+1．
（1）證明{an+ }是等比數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式；
（2）證明： + +…+ ＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）證明： =3，

∵ ≠0，

∴數(shù)列{an+ }是以首項(xiàng)為 ，公比為3的等比數(shù)列；

∴an+ = = ，即 ；

（2）證明：由（1）知 ，

當(dāng)n≥2時(shí)，∵3n﹣1＞3n﹣3n﹣1，∴ ＜ = ，

∴當(dāng)n=1時(shí)， 成立，

當(dāng)n≥2時(shí)， + +…+ ＜1+ …+ = = ＜ ．

∴對(duì)n∈N+時(shí)， + +…+ ＜ ．

【解析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義，后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比是常數(shù)，即 =常數(shù)，又首項(xiàng)不為0，所以為等比數(shù)列；再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)化式，求出{an}的通項(xiàng)公式；（2）將 進(jìn)行放大，即將分母縮小，使得構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，從而求和，證明不等式．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解數(shù)列的前n項(xiàng)和(數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系)，還要掌握等比數(shù)列的基本性質(zhì)({an}為等比數(shù)列，則下標(biāo)成等差數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)成等比數(shù)列;{an}既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列== {an}是各項(xiàng)不為零的常數(shù)列)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．