Question

【題目】已知函數,在時取得極值.

(1)求f(x)的單調區間；

(2)求證：當時，.

Answer 1

【答案】（1）增區間為，減區間為；（2）詳見解析.

【解析】

（1）在時取得極值，則，從而可得a值和函數解析式，求導，解不等式和，即可確定f（x）的單調區間；（2）構造函數g（x）＝，對函數求導，判斷函數單調性，通過單調性易得g（x）＞0恒成立，進而得到結論．

(1)f′(x)＝x－，因為x＝2是一個極值點，所以2－＝0.所以a＝4.

此時f′(x)＝＝＝. 因為f(x)的定義域是{x|x>0}，

所以當0<x<2時，f′(x)<0；當x>2時，f′(x)>0.所以當a＝4時，x＝2是f(x)的極小值點．即增區間為，減區間為.

(2)證明：設g(x)＝x3－x2－lnx，則g′(x)＝2x2－x－，

因為當x>1時，g′(x)＝>0，所以g(x)在(1，＋∞)上是增函數．

所以g(x)>g(1)＝>0.所以當x>1時， x2＋lnx<x3.