Question

已知橢圓中心在坐標原點，焦點在x軸上，離心率為，它的一個頂點為拋物線x2＝4y的焦點．

(1)求橢圓方程；

(2)若直線y＝x－1與拋物線相切于點A，求以A為圓心且與拋物線的準線相切的圓的方程；

(3)若斜率為1的直線交橢圓于M、N兩點，求△OMN面積的最大值(O為坐標原點)．

 

Answer 1

（1）＋y2＝1（2）(x－2)2＋(y－1)2＝4（3）

【解析】(1)由題意設橢圓方程為：＝1(a＞b＞0)，

因為拋物線x2＝4y的焦點為(0,1)，

所以b＝1.由離心率e＝＝，a2＝b2＋c2解得a＝，b＝1，c＝1，橢圓方程為＋y2＝1.

(2)由解得，所以A＝(2,1)．

因為拋物線的準線方程為y＝－1，

所以圓的半徑r＝1－(－1)＝2，

所以圓的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4.

(3)設直線MN方程為y＝x＋m，由得3x2＋4mx＋2m2－2＝0.

由判別式Δ＝16m2－12(2m2－2)＞0，解得－＜m＜.

設M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1＋x2＝－m，x1x2＝，

所以|MN|＝

原點O到直線MN的距離d＝

S＝|MN|d＝＝≤ (m2＋3－m2)＝.

當且僅當m2＝3－m2即m＝±時等號成立，所以三角形OMN面積的最大值為.