Question

【題目】已知函數.

（1）討論的極值點的個數；

（2）當時，若存在實數，使得，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）先求得函數的導函數.令,分離參數后構造函數,并求得,通過判斷在各區間內的符號,判斷的單調性及的取值情況.即可根據的取值情況,判斷極值點的個數.

（2）將代入,并令,即可用表示出與,即可表示出.構造函數,并求得,結合的符號即可判斷的單調性,進而求得的最小值.

（1）由題可知,

令,得,

記,則

當時,；時,；時,,

∴在上單調遞減,在上單調遞減,在上單調遞增,

又

時,；

時,；

時,,

∴當時,函數有2個極值點；

當時,函數無極值點；

當時,函數有1個極值點；

（2）當時,設,

則,

∵,∴,即,

故,,

∴,,即.

令,

則,

∵與在均單調遞增,

∴在均單調遞增,且,

∴當時,,當時,,

∴在上單調遞減,在上單調遞增,

∴當時,取最小值,此時,

即的最小值為.