Question

已知橢圓的離心率為，，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且的周長(zhǎng)為。
（Ⅰ）求橢圓的方程
（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)與橢圓相交于、兩點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求證：直線(xiàn)與圓相切.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見(jiàn)解析.

解析試題分析：（Ⅰ）借助題中的已知條件以及、、三者之間的相互關(guān)系確定、、的值，從而確定橢圓的方程；（Ⅱ）對(duì)直線(xiàn)的斜率存在與不存在這兩種情況進(jìn)行討論，即根據(jù)這個(gè)條件確定直線(xiàn)傾斜角為時(shí)，直線(xiàn)的方程，以及根據(jù)這個(gè)條件在斜率存在時(shí)方程中、之間的等量關(guān)系，并借助圓心（原點(diǎn)）到直線(xiàn)的距離等于圓的半徑確定直線(xiàn)與圓相切.
試題解析：解（Ⅰ）由已知得，且
解得，又
所以橢圓的方程為            4分
（Ⅱ）證明：有題意可知，直線(xiàn)不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)的坐標(biāo)分別為
（ⅰ）當(dāng)直線(xiàn)軸時(shí)，直線(xiàn)的方程為且
則
     
，解得
故直線(xiàn)的方程為
因此，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為
又圓的圓心為，半徑
所以直線(xiàn)與圓相切                     9分
（ⅱ）當(dāng)直線(xiàn)不垂直于軸時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為
由 得



  
故
即       ①
又圓的圓心為，半徑
圓心到直線(xiàn)的距離為
    ②
將①式帶入②式得

所以
因此，直線(xiàn)