Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

3

2

，過坐標原點O且斜率為

1

2

的直線l與C相交于A，B，|AB|=2

10

．
（1）求a，b的值；
（2）若動圓（x-m）²+y²=1與橢圓C和直線l都沒有公共點，試求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）依題意，l：y=

x

2

，設A（2t，t）、B（-2t，t）（t＞0），由|AB|=2

10

得20t²=40，t=

2

，由此入手可解得a=4，b=2．
（2）由題意知3x²-8mx+4m²+12=0，動圓與橢圓沒有公共點，由此知|m|＜3或|m|＞5．再由動圓（x-m）²+y²=1與直線y=

x

2

沒有公共點．由此可得m的取值范圍．

解答：解：（1）依題意，l：y=

x

2

（1分）
不妨設設A（2t，t）、B（-2t，-t）（t＞0）（2分）
由|AB|=2

10

得20t²=40，t=

2

（3分）
所以

8 a2 + 2 b2 =1 c a = a2-b2 a = 3 2

（（5分），）
解得a=4，b=2（6分）．
（2）由

x2 16 + y2 4 =1 (x-m)2+y2=1

消去y得3x²-8mx+4m²+12=0（7分）
動圓與橢圓沒有公共點，當且僅當△=（-8m）²-4×3×（4m²+12）=16m²-144＜0或|m|＞5（9分）
解得|m|＜3或|m|＞5（10分）
動圓（x-m）²+y²=1與直線y=

x

2

沒有公共點當且僅當

|m|

5

＞1，即|m|＞

5

（12分）解

|m|＜3 |m|＞ 5

或

|m|＞5 |m|＞

5

（13分）
得m的取值范圍為{m|

5

＜m＜3或m＞5或-3＜m＜-

5

或m＜-5}．（14分）

點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，仔細解答．