Question

【題目】設(shè)函數(shù).

(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

(2)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)與圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)的增區(qū)間是，減區(qū)間是；（2）有一個(gè)交點(diǎn).

【解析】分析：（1）求出，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（2）問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，通過求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)區(qū)間，求出的極小值，利用數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想可求出的函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即和的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

詳解：(1)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增。

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.

(2)令

問題等價(jià)于求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，

當(dāng)時(shí)，，有唯一零點(diǎn).

當(dāng)，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為減函數(shù)，

注意到

所以有唯一零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，或時(shí)時(shí)

所以函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

注意到

所以有唯一零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

易得，所以，

而所以有唯一零點(diǎn)；

綜上，函數(shù)有唯一零點(diǎn)，即兩函數(shù)圖象總有一個(gè)交點(diǎn).