Question

【題目】已知拋物線焦點(diǎn)為，過點(diǎn)與軸垂直的直線交拋物線的弦長(zhǎng)為2.

（1）求拋物線的方程；

（2）點(diǎn)和點(diǎn)為兩定點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)為拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn)，線段的中點(diǎn)在直線上，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

由題意知,將代入拋物線方程解得弦長(zhǎng),進(jìn)而求出即可;

由（1）知拋物線的方程為：，設(shè)，直線的斜率為，線段的中點(diǎn)為，由題意可設(shè),利用點(diǎn)差法可得，把直線的方程與拋物線方程聯(lián)立得到關(guān)于的一元二次方程,利用判別式求出的取值范圍,利用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式求出,利用點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)到直線的距離即可求出面積的表達(dá)式,,把表示為關(guān)于的函數(shù),通過求導(dǎo)判斷單調(diào)性求最大值即可.

（1）由題得拋物線的焦點(diǎn)為，

在方程中,令得，

所以弦長(zhǎng)為，即，解得，

所以拋物線的方程為：.

（2）由（1）知拋物線的方程為：，

設(shè)，直線的斜率為，

因?yàn)榫�段的中點(diǎn)在直線上，

由可知直線的方程為：，

所以可設(shè)，

所以，

又，，

所以，即得,

所以可設(shè)直線的方程為.

所以，

所以判別式，

由韋達(dá)定理可得,，，

，

而點(diǎn)到直線的距離為，

所以

，

記，因?yàn)?/span>，所以，

所以，，

所以，令,則，

當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí)，；

所以當(dāng)時(shí)，有最大值為.