Question

【題目】已知橢圓：的一個焦點為，離心率為.

（1）求的標準方程；

（2）若動點為外一點，且到的兩條切線相互垂直，求的軌跡的方程；

（3）設的另一個焦點為，自直線：上任意一點引（2）所求軌跡的一條切線，切點為，求證：.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）證明見解析

【解析】

（1）根據離心率和焦點坐標可求得的值，進而得到橢圓的方程；

（2）設，切點分別為，，對點的位置進行討論，即切線的斜率不存在和存在時；當設切線方程為代入橢圓的方程得到關于的二次方程，利用直線互相垂直得到的關系，從而得到點的軌跡的方程；

（3）設，將，都用進行表示，即可得答案.

（1）設，

由題設，得，，所以，，

所以的標準方程為.

（2）設，切點分別為，，

當時，設切線方程為，

聯立方程，得，

消去，得，①

關于的方程①的判別式，

化簡，得，②

關于的方程②的判別式，

因為在橢圓外，

所以，即，所以，

關于的方程②有兩個實根，分別是切線，的斜率.

因為，所以，即，化簡為.

當時，可得，滿足，

所以的軌跡方程為.

（3）如圖，，設，

，

，

所以，即.