Question

【題目】設各項均為正數的數列的前項和為，已知，且對一切都成立.

(1)當時.

①求數列的通項公式；

②若，求數列的前項的和；

(2)是否存在實數，使數列是等差數列.如果存在，求出的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】(1)①；②；(2)存在，0.

【解析】

(1) ①時，可得到，即，然后用累乘法可得，進而可得出數列是首項為1，公比為2的等比數列，，②用錯位相減法算出即可

(2)先由算出，然后再證明即可

(1)①若，因為

則，.

又∵，，∴，

∴，

化簡，得. ①

∴當時，. ②

②－①，得，∴.

∵當時，，∴時上式也成立，

∴數列是首項為1，公比為2的等比數列，.

②因為，∴

所以

所以

將兩式相減得：

所以

(2)令，得.令，得.

要使數列是等差數列，必須有，解得.

當時，，且.

當時，，

整理，得，，

從而，

化簡，得，所以.

綜上所述，，

所以時，數列是等差數列.