Question

如圖，已知P是平行四邊形ABCD所在平面外一點，M，N分別是AB，PC的中點．
（1）求證：MN∥平面PAD；
（2）若MN=BC=4，PA=4

3

，求異面直線PA與MN所成的角的大小．

Answer 1

分析：（1）取PD中點Q，連AQ、QN，根據四邊形AMNQ為平行四邊形可得MN∥AQ，根據直線與平面平行的判定定理可證得EF∥面PAD；
（2）根據MN∥AQ，則∠PAQ即為異面直線PA與MN所成的角，然后解三角形PAQ，可求出此角即可．

解答：（1）證明：取PD中點Q，連AQ、QN，則AM∥QN
∴四邊形AMNQ為平行四邊形
∴MN∥AQ
又∵AQ在平面PAD內，MN不在平面PAD內
∴MN∥面PAD；
（2）解：∵MN∥AQ
∴∠PAQ即為異面直線PA與MN所成的角
∵MN=BC=4，PA=4

3

，
∴AQ=4，根據余弦定理可知cos∠AQD+cos∠AQP=0
即

16+x2-48

8x

+

16+x2-16

8x

=0
解得x=4
在三角形AQP中，AQ=PQ=4，AP=4

3

∴cos∠PAQ=

48+16-16

2×4×4 3

=

3

2

即∠PAQ=30°
∴異面直線PA與MN所成的角的大小為30°．

點評：本題主要考查了線面平行的判定定理，以及異面直線所成角，同時考查了空間想象能力，屬于基礎題．