Question

如圖，梯形ABCD中，CD∥AB，，E是AB的中點，將△ADE沿DE折起，使點A折到點P的位置，且二面角P-DE-C的大小為120°．
（I）求證：DE∥平面PBC；
（II）求證：DE⊥PC；
（III）求直線PD與平面BCDE所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（I）欲證DE∥平面PBC，根據直線與平面平行的判定定理可知只需證DE與平面PBC內一直線平行即可，易證四邊形DCBE是平行四邊形，則ED∥BC，而DE?面PBC，BC?面PBC，滿足定理所需條件；
（II）欲證DE⊥平面PFC，根據直線與平面垂直的判定定理可知只需證DE與平面PFC內兩相交直線垂直，連接EC，由（I）知，CD∥AE且CD=AE，又AD=DC，則四邊形ADCE是菱形，連接AC交DE于F，連接PF，則DE⊥AC，DE⊥PF，AC∩PF=F，滿足定理所需條件，又∵PC?平面PFC，則DE⊥PC．
（III）根據面面垂直的判定定理可知平面PFC⊥平面BCDE，過點P作PH⊥AC于H，則PH⊥平面BCDE，連接DH，則DH為PD在平面BCDE上的射影，則∠PDH就是直線PD與平面BCDE所成的角，在Rt△PHF中，求出PH，在Rt△PHD中，求出此角的正弦值即可．
解答：證明：（I）∵E是AB的中點，∴，
又∵且DC=EB
∴四邊形DCBE是平行四邊形，∴ED∥BC
∵DE?面PBC，BC?面PBC，∴DE∥平面PBC．（4分）

（II）連接EC，據（I）知，CD∥AE且CD=AE，
∴四邊形ADCE為平行四邊形，
又AD=DC，∴四邊形ADCE是菱形．
連接AC交DE于F，連接PF，
則DE⊥AC，DE⊥PF，
∵AC∩PF=F，∴DE⊥平面PFC．
又∵PC?平面PFC，∴DE⊥PC．（8分）

（III）∵DE⊥平面PFC，DE?平面BCDE，
∴平面PFC⊥平面BCDE，且兩平面交于AC，
過點P作PH⊥AC于H，則PH⊥平面BCDE，連接DH，則DH為PD在平面BCDE上的射影，
∴∠PDH就是直線PD與平面BCDE所成的角．（11分）
由（II）知，∠PFC就是二面角P-DE-C的平面角，∴∠PFC=120°，∴∠PFA=60°．
設AD=AE=BC=DE=a，則
在Rt△PHF中，
∴在Rt△PHD中，（14分）
點評：本題考查直線與平面平行的判定，直線與平面所成的角的求法，考查學生空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．