Question

如圖是一個半圓形湖面景點的示意圖，已知AB為直徑，且AB=2km，O為圓心，C為圓周上靠近A的一點，D為圓周上靠近B的一點，且CD∥AB，現在準備從A經過C到D建造一條觀光路線，其中A到C是圓弧

AC

，C到D是線段CD，設∠AOC=x rad，觀光路線總長為y km．
（1）求y關于x的函數解析式，并指出該函數的定義域；
（2）求觀光路線總長的最大值．

Answer 1

考點：根據實際問題選擇函數類型

專題：應用題,導數的綜合應用

分析：（1）由題意得y=1•x+1•sin（

π

2

-x）×2，化簡并寫出定義域（0＜x＜

π

2

）；
（2）求導y′=1-2cos（

π

2

-x）以確定函數的單調性，從而求最大值．

解答： 解：（1）由題意得，
y=1•x+1•sin（

π

2

-x）×2
=x+2sin（

π

2

-x），（0＜x＜

π

2

）；
函數的定義域為{x|0＜x＜

π

2

}；
（2）y′=1-2cos（

π

2

-x），
令y′=0解得，x=

π

6

，
故當x=

π

6

時，觀光路線總長最大，
最大值為

π

6

+2×

3

2

=

π

6

+

3

（km）．

點評：本題考查了學生將實際問題轉化為數學問題的能力，屬于中檔題．