Question

在圓柱OO′中，△ABC是其下底面的內接正三角形，B₁、C₁是其上底面的兩點，且B₁B⊥平面ABC，C₁C⊥平面ABC．已知AB=2，AB₁=4．
（1）求幾何體ABB₁C₁C與圓柱OO'的體積之比；
（2）當點D是AC中點時，證明：AB₁∥平面BDC₁，并求二面角D-BC₁-C的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由B₁B⊥平面ABC，AB?平面ABC，知B₁B⊥AB．在Rt△ABB₁中，AB=2，AB₁=4，故BB1=2

3

，作AM⊥BC于M，在正△ABC中，AM=

3

，底面半徑r=

2

3

AM=

2 3

3

，VOO′=πr2×BB1=

8 3

3

π，vABB1C1C=

1

3

BC×BB1×AM=4，由此能求出幾何體ABB₁C₁C與圓柱OO'的體積之比．
（2）連接B₁C交BC₁于點E，連接DE．于是E為B₁C的中點，而D為AC中點，DE∥AB₁，由此能夠證明AB∥平面BDC₁．以B為原點，BC為y軸，BB₁為z軸，建立空間直角坐標系，則

BC1

=(0，2，2

3

)，

BD

=(

3

2

，

3

2

，0)，得到平面BDC₁的法向量，

n1

=(3，-

3

，1)，平面BCC₁的法向量

n2

=(1，0，0)，由此能求出二面角D-BC₁-C的余弦值．

解答：解：（1）∵B₁B⊥平面ABC，AB?平面ABC，
∴B₁B⊥AB．
在Rt△ABB₁中，AB=2，AB₁=4，
∴BB1=2

3

，
作AM⊥BC于M，
在正△ABC中，AM=

3

，
∴底面半徑r=

2

3

AM=

2 3

3

，VOO′=πr2×BB1=

8 3

3

π，
∵vABB1C1C=

1

3

BC×BB1×AM=4，
∴幾何體ABB₁C₁C與圓柱OO'的體積之比：

VABB1C1C

VOO’

=

4

8 3 3 π

=

3

2π

．
（2）連接B₁C交BC₁于點E，連接DE．
于是E為B₁C的中點，
而D為AC中點，
∴DE是△AB₁C的中位線，
∴DE∥AB₁，
∵DE?平面BDC₁，AB?平面BDC₁，
∴AB∥平面BDC₁．
以B為原點，BC為y軸，BB₁為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則B（0，0，0），D（

3

2

，

3

2

，0），C1(0，2，2

3

)，
∴

BC1

=(0，2，2

3

)，

BD

=(

3

2

，

3

2

，0)，
設

n1

=(x，y，z)為平面BDC₁的法向量，
則

BC1 •  n1 =0 BD • n1 =0

，∴

y+ 3 z=0 x+ 3 y=0

∴

n1

=(3，-

3

，1)，
∵平面BCC₁的法向量

n2

=(1，0，0)，
設二面角D-BC₁-C的平面角為θ，
則cosθ=|cos＜

n1

，

n2

＞|=

3

13 ×1

=

3 13

13

．

點評：本題考查立體幾何的綜合運用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．