Question

在直角坐標平面中，△ABC的兩個頂點為A（0，-l），B（0，1），平面內兩點G，M同時滿足：①

OC

=3

OG

（O為坐標原點）；②|

MA

|=|

MB

|=|

MC

|；③

GM

∥

AB

．
（1）求頂點C的軌跡E的方程；
（2）直線l：y=x+t與曲線E交于P，Q兩點，求四邊形PAQB面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）確定M的坐標，利用|

MA

|=|

MC|

，即可求出頂點C的軌跡E的方程．
（2）直線PQ的方程，將之代入（1）的方程中，運用設而不求韋達定理，根據S_PAQB=

1

2

|AB||x₁-x₂|，即可得到結論．

解答：解：（1）設C（x，y），
由①知，G為△ABC的重心，
∴G（

x

3

，

y

3

）
由②知M是△ABC的外心，∴M在x軸上．
由③知M（

x

3

，0），
由|

MA

|=|

MC|

得

( x 3 )2+1

=

(x- x 3 )2+y2

化簡整理得：

x2

3

+y2=1（x≠0）；
（2）將y=x+t代入橢圓方程，可得4x²+6tx+3t²-3=0，
由△＞0，可得t²＜4
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
則x₁+x₂=-

3

2

t，x₁•x₂=

3t2-3

4

∴S_PAQB=

1

2

|AB||x₁-x₂|=

3

2

•

4-t2

∴t=0時，四邊形PAQB面積的最大值為

3

．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，平面向量與共線向量，向量數量積的運算，以及求點的軌跡方程，考查了對知識的綜合運用能力，屬于中檔題．