Question

【題目】已知函數，m∈R

（1）討論f（x）的單調性；

（2）若m∈（-1，0），證明：對任意的x1，x2∈[1，1-m]，4f（x1）+x2＜5．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）求函數的導數，結合函數單調性和導數之間的關系進行判斷即可．

（2）將不等式進行轉化，構造函數g（x）=-x+，則不等式轉化為最值問題進行求解即可．

解：（1）

①當1＞1-m，即m＞0時，（-∞，1-m）和（1，+∞）上f′（x）＜0，f（x）單調減；（1-m，1）上f′（x）＞0，f（x）單調增

②當1=1-m，即m=0時，（-∞，+∞）上f′（x）＜0，f（x）單調減

③當1＜1-m，即m＜0時，（-∞，1）和（1-m，+∞）上f′（x）＜0，f（x）單調減；（1，1-m）上f′（x）＞0，f（x）單調增

（2）對任意的x1，x2∈[1，1-m]，4f（x1）+x2＜5可轉化為，

設g（x）=-x+，則問題等價于x1，x2∈[1，1-m]，f（x）max＜g（x）min

由（1）知，當m∈（-1，0）時，f（x）在[1，1-m]上單調遞增，，

g（x）在[1，1-m]上單調遞減，，

即證，化簡得4（2-m）＜e1-m[5-（1-m）]

令1-m=t，t∈（1，2）

設h（t）=et（5-t）-4（t+1），t∈（1，2），

h′（t）=et（4-t）-4＞2et-4＞0，故h（t）在（1，2）上單調遞增．

∴h（t）＞h（1）=4e-8＞0，即4（2-m）＜e1-m[5-（1-m）]

故，得證．