Question

已知函數.
（1）當時，試確定函數在其定義域內的單調性；
（2）求函數在上的最小值；
（3）試證明：.

Answer 1

（1）當時，函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為；
（2）；（3）詳見解析.

試題分析：（1）先求出函數的定義域求出，然后將代入函數的解析式，求出導數，并利用導數求出函數的減區間與增區間 ；（2）求出，并求出方程的，對的符號以及是否在區間內進行分類討論，結合函數的單調性確定函數在上的最小值；（3）利用分析法將不等式等價轉化為，然后令，將原不等式等價轉化為在，利用（1）中的結論進行證明.
試題解析：（1）函數的定義域為，當時，，則，
解不等式，得；解不等式，得，
故函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為；
（2），，
當時，，，此時函數在區間上單調遞減，
函數在處取得最小值，即；
當時，令，
當時，即當，，，此時函數在區間上單調遞減，
函數在處取得最小值，即；
當，即當時，當，，當時，，
此時函數在處取得極小值，亦即最小值，
即，
綜上所述，；
（3）要證不等式，即證不等式，即證不等式，
即證不等式，
令，則 則，故原不等式等價于，
即不等式在上恒成立，
由（1）知，當時，函數在區間上單調遞增，
即函數在區間上單調遞增，故，
故有，因此不等式在上恒成立，故原不等式得證，
即對任意，.