Question

【題目】已知函數.

（1）證明：；

（2）若當恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1），得到，得到，整理得到，即，令，證明得到答案.

（2）當時，要證即證，令，證明在上是減函數，得當時，在上恒成立，再證明時，在上不恒成立，得到答案.

（1），當時，，，

在上是增函數，又，.

由整理得，即，

令，即，

在上是增函數，又，，，

，

綜上，.

（2）當時，要證，

即證，

只需證明.

由（1）可知：當時，，

即，

，

令，則，

令，則，

當時，，在上是減函數，

故當時，，在上是減函數，

，，

故當時，在上恒成立.

當時，由（1）可知：，即，

，

令，則，

當時，，在上是減函數，

在上的值域為.

，，存在，使得，此時

故時，在上不恒成立.

綜上，實數的取值范圍是.