Question

過定點(diǎn)A(a，b)任作互相垂直的兩直線l₁與l₂，且l₁與x軸相交于M點(diǎn)，l₂與y軸相交于N點(diǎn)，求線段MN中點(diǎn)P的軌跡方程.

Answer 1

解法一:設(shè)M(x₁，0)，N(0，y₁)，P(x，y).

∵P點(diǎn)為線段MN的中點(diǎn)，

∴∴                                                                                                    ①

又∵l₁⊥l₂，∴|AM|²＋|AN|²＝|MN|²,

即(x₁－a)²＋(0－b)²＋(y₁－b)²＋(0－a)²＝(x₁－0)²＋(y₁－0)²,

即(x₁－a)²＋a²＋(y₁－b)²＋b²＝x₁²＋y₁².                                                                     ②

把①代入②化簡(jiǎn)得2ax＋2by－a²－b²＝0，即為P點(diǎn)的軌跡方程.

解法二:設(shè)P(x，y).

①當(dāng)AM與x軸不垂直時(shí)，∵P為MN中點(diǎn)，∴M(2x，0)，N(0，2y).

又k_AM＝，k_BN＝，l₁⊥l₂,∴·＝－1.

化簡(jiǎn)得2ax＋2by－a²－b²＝0.                                                                                    ①

②當(dāng)AM⊥x軸時(shí)，AM的斜率不存在，此時(shí)MN中點(diǎn)坐標(biāo)(，)滿足方程①.

綜上所述，得P點(diǎn)的軌跡方程為2ax＋2by－a²－b²＝0.