Question

已知拋物線C的方程C：y² ="2" p x（p＞0）過點A（1，－2）.
（I）求拋物線C的方程，并求其準線方程；
（II）是否存在平行于OA（O為坐標原點）的直線l，使得直線l與拋物線C有公共點，且直線
OA與l的距離等于？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由

Answer 1

解：（Ⅰ）將（1,－2）代入，所以.    ………………1’
故所求的拋物線C的方程為，其準線方程為.…………5’
（Ⅱ）假設存在符合題意的直線l，其方程為y=－2x + t ，…………………6’
由，得y²＋2 y －2 t =0.……………………7’
因為直線l與拋物線C有公共點，所以得Δ="4+8" t≥0，解得t≥.…………9’
另一方面，由直線OA與l的距離d=，可得，解得t=±1.………10’
因為－1 ，1∈，
所以符合題意的直線l存在，其方程為2x+y－1 =0.……………………12’

解析