Question

函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)，且是周期為2的周期函數(shù)，當x∈（2，3]時，f（x）=x-1，在y=f（x）的圖象上有兩點A、B，它們的縱坐標相等，橫坐標在區(qū)間[1，3]上，定點C的坐標為（0，a）（其中a＞2），求△ABC面積的最大值．

Answer 1

考點：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：由函數(shù)的周期性及已知表達式可求x∈[0，1]時的f（x），由偶函數(shù)的性質可求x∈[-1，0]時的f（x），再由周期性可求x∈[1，2]時的f（x）；設A、B的橫坐標分別為3-t，t+1，1≤t≤2，則|AB|=（t+1）-（3-t）=2t-2，△ABC的面積為S=

1

2

（2t-2）•（a-t），配方后由二次函數(shù)的性質可求面積的最大值．

解答： 解：∵f（x）是以2為周期的周期函數(shù)，當x∈[2，3]時，f（x）=x-1，
∴當x∈[0，1]時，f（x）=f（x+2）=（x+2）-1=x+1．
∵f（x）是偶函數(shù)，∴當x∈[-1，0]時，f（x）=f（-x）=-x+1，
當x∈[1，2]時，f（x）=f（x-2）=-（x-2）+1=-x+3．
設A、B的橫坐標分別為3-t，t+1，1≤t≤2，
則|AB|=（t+1）-（3-t）=2t-2，
∴△ABC的面積為S=

1

2

（2t-2）•（a-t）=-t²+（a+1）t-a，
=-（t-

a+1

2

）²+

a2-2a+1

4

（1≤t≤2），
∵2＜a＜3，∴

3

2

＜

a+1

2

＜2，
∴當t=

a+1

2

時，S_最大值=

a2-2a+1

4

．

點評：該題考查函數(shù)的奇偶性、周期性及其應用，考查函數(shù)解析式的求解，考查二次函數(shù)的性質，考查學生綜合運用知識解決問題的能力．