Question

（2013•棗莊一模）在某社區(qū)舉辦的《有獎(jiǎng)知識(shí)問(wèn)答比賽》中，甲、乙、丙三人同時(shí)回答某一道題，已知甲回答對(duì)這道題的概率是

3

4

，甲、丙二人都回答錯(cuò)的概率是

1

12

，乙、丙二人都回答對(duì)的概率是

1

4

．
（Ⅰ）求乙、丙二人各自回答對(duì)這道題的概率；
（Ⅱ）設(shè)乙、丙二人中回答對(duì)該題的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)甲、乙、丙回答對(duì)這道題分別為事件A、B、C，則P(A)=

3

4

，且有

P( . A )P( C )= 1 12 P(B)P(C)= 1 4

，解之可得；
（Ⅱ）由題意，X=0，1，2，分別可得所對(duì)應(yīng)的概率，可得X的分布列，由期望的定義可得期望．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)甲、乙、丙回答對(duì)這道題分別為事件A、B、C，
則P(A)=

3

4

，且有

P( . A )P( C )= 1 12 P(B)P(C)= 1 4

，
故

(1- 3 4 )[1-P(C)]= 1 12 P(B)P(C)= 1 4 .

，解得P(B)=

3

8

，P(C)=

2

3

．                 …（4分）
（Ⅱ）由題意，X=0，1，2，P(X=2)=

1

4

，P(X=0)=P(

.

B

)P(

.

C

)=

5

8

×

1

3

=

5

24

．
P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2)=

13

24

．
所以隨機(jī)變量X的分布列為：

X	0	1	2
P	5 24	13 24	1 4

E(X)=0×

5

24

+1×

13

24

+2×

1

4

=

25

24

．                        …（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的期望與方差，涉及相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，屬中檔題．