Question

在四棱錐中，//，，，平面，.
（Ⅰ）設平面平面，求證：//；
（Ⅱ）求證：平面；
（Ⅲ）設點為線段上一點，且直線與平面所成角的正弦值為，求的值．

Answer 1

（Ⅰ）證明： 因為//，平面，平面，
所以//平面.                   ………………………………………2分
因為平面，平面平面，
所以//.                          ………………………………………4分
（Ⅱ）證明：因為平面，，所以以為坐標原點，所在的直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，
則，，，.
………………………………………5分
所以 ，，
，
所以，
.
所以 ，.
因為 ，平面，
平面，
所以 平面.                     
………………………………………9分
（Ⅲ）解：設（其中），，直線與平面所成角為
所以 .
所以 .
所以 即.  
所以 .   ………………………………………11分
由（Ⅱ）知平面的一個法向量為.
………………………………………12分
因為 ，
所以 .
解得 .
所以 .                       ………………………………………14分

略