Question

【題目】某公司為了確定下一年度投入某種產品的宣傳費用，需了解年宣傳費（單位：萬元）對年銷量（單位：噸）和年利潤（單位：萬元）的影響.對近6年宣傳費和年銷量的數據做了初步統計，得到如下數據：

年份	2013	2014	2015	2016	2017	2018
年宣傳費x（萬元）	38	48	58	68	78	88
年銷售量y（噸）	16.8	18.8	20.7	22.4	24.0	25.5

經電腦模擬，發現年宣傳費（萬元）與年銷售量（噸）之間近似滿足關系式即，對上述數據作了初步處理，得到相關的值如下表：

75.3	24.6	18.3	101.4

（Ⅰ）從表中所給出的6年年銷售量數據中任選2年做年銷售量的調研，求所選數據中至多有一年年銷售量低于20噸的概率.

（Ⅱ）根據所給數據，求關于的回歸方程；

（Ⅲ）若生產該產品的固定成本為200（萬元），且每生產1（噸）產品的生產成本為20（萬元）（總成本=固定成本+生產成本+年宣傳費），銷售收入為（萬元），假定該產品產銷平衡（即生產的產品都能賣掉），2019年該公司計劃投入萬元宣傳費，你認為該決策合理嗎？請說明理由.（其中為自然對數的底數，）

附：對于一組數據，其回歸直線中的斜率和截距的最小二乘估計分別為．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）不合理

【解析】

(Ⅰ)利用組合知識，根據古典概型概率公式可得結果；（Ⅱ）對兩邊取對數得，令得，根據所給的數據，求出變量的平均數，求出最小二乘法所需要的數據，可得線性回歸方程的系數,再根據樣本中心點一定在線性回歸方程上，求出的值，寫出線性回歸方程；（Ⅲ）設該公司的年利潤為，由利潤=銷售收入-總成本，求得的解析式，由二次函數的性質求得時，取最大值，從而可得結果.

(Ⅰ)記事件A表示“至多有一年年銷量低于20噸”，由表中數據可知6年中有2年的年銷量低于20噸，故

（Ⅱ）對兩邊取對數得，令得，由題中數據得：，，

，，

所以，由,

得,故所求回歸方程為.

（Ⅲ）設該公司的年利潤為，因為利潤=銷售收入-總成本，所以由題意可知

,

當即時，利潤取得最大值500（萬元），故2019年該公司計劃投入萬元宣傳費的決策不合理.