Question

（2012•金華模擬）如圖，在四棱錐S-ABCD中，SD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，且SD=AD=

2

AB，E是SA的中點．
（1）求證：SC∥平面BDE；
（2）求直線SA與平面BED所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）連接BD、AC交于點O，連接EO，利用三角形中位線的性質，可得EO∥SC，從而可證SC∥平面BDE；
（2）先證明平面BED⊥平面SAB，作AF⊥BE，垂足為F，可得∠AEF是直線SA與平面BED所成的角，在Rt△AFE中，即可求得結論．

解答：（1）證明：連接BD、AC交于點O，連接EO
∵E、O分別是SA、AC的中點．
∴EO∥SC
∵SC?平面BDE，EO?平面BDE
∴SC∥平面BDE；
（2）解：∵SD⊥平面ABCD，SD?平面SAD
∴平面SAD⊥平面ABCD，
∵AB⊥AD，平面SAD∩平面ABCD=AD
∴AB⊥平面SAD，
∵DE?平面SAD
∴DE⊥AB．
∵SD=AD，E是SA的中點，∴DE⊥SA，
∵AB∩SA=A，∴DE⊥平面SAB
∴平面BED⊥平面SAB．
作AF⊥BE，垂足為F．
∵平面BED⊥平面SAB，∴AF⊥平面BED，∴∠AEF是直線SA與平面BED所成的角．
設AD=2a，則AB=

2

a，SA=2

2

a，AE=

2

a，△ABE是等腰直角三角形，則AF=a．
在Rt△AFE中，sin∠AEF=

AF

AE

=

2

2

，∴∠AEF=45°
故直線SA與平面BED所成角的大小45°．

點評：本題考查線面平行，考查線面角，解題的關鍵是掌握線面平行的判定，正確得出線面角，屬于中檔題．