Question

【題目】若定義在D上的函數滿足：對任意，存在常數，都有成立，則稱是D上的有界函數，其中M稱為函數的上界，已知函數，．

求函數在上的值域，判斷函數在上是否為有界函數，并說明理由；

若函數在上是以3為上界的函數，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）求函數的導數，研究函數的值域結合有界函數的定義進行判斷即可．

（2）若函數在上是以為上界的函數得，利用絕對值的性質結合函數單調性的性質可求得，就分類討論可得的取值范圍．

（1）．

則，

設函數，則．

當時，，為減函數；

當時，，為增函數；

故當時，，當且僅當時，，

從而，當且僅當時，，

所以在上單調遞增，

又，，

故在上的值域為，故，

故在上是有界函數．

（2）由，得在上恒成立．

故在上恒成立①，

由（1）可知 在上單調遞增，且．

當時，有，

則有，解得．

當時，有

若，則，所以；

若，則，所以．

綜上，實數的取值范圍是 ．