Question

【題目】已知函數f(x)＝xln x－(x－1)(ax－a＋1)(a∈R)．

(1)若a＝0，判斷函數f(x)的單調性；

(2)若x>1時，f(x)<0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】(1)若a＝0，f(x)＝xln x－x＋1，f′(x)＝ln x.

∴當x∈(0,1)時，f′(x)<0，f(x)為減函數；

當x∈(1，＋∞)時，f′(x)>0，f(x)為增函數．

(2)由題意知f(x)＝xln x－(x－1)(ax－a＋1)<0在(1，＋∞)上恒成立．

①若a＝0，則f(x)＝xln x－x＋1，f′(x)＝ln x>0在x∈(1，＋∞)上恒成立，∴f(x)為(1，＋∞)上的增函數，∴f(x)>f(1)＝0，即f(x)<0不成立．∴a＝0不合題意．

②若a≠0，∵x>1，∴只需＝ln x－<0在(1，＋∞)上恒成立．

記h(x)＝ln x－，x∈(1，＋∞)，

則h′(x)＝－＝－，x∈(1，＋∞)．

由h′(x)＝0，得x1＝1，x2＝.

若a<0，則x2＝<1＝x1，

∴h′(x)>0在(1，＋∞)上恒成立，故h(x)為增函數，

∴h(x)>h(1)＝0，不合題意．

若0<a<，x∈時，h′(x)>0，h(x)為增函數，

∴h(x)>h(1)＝0，不合題意，

若a≥，x∈(1，＋∞)時，h′(x)<0，h(x)為減函數，

∴h(x)<h(1)＝0，符合題意．

綜上所述，若x>1時，f(x)<0恒成立，則a≥.