Question

已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，在的兩條漸近線上的射影分別為、，是坐標(biāo)原點(diǎn)，且四邊形是邊長為的正方形．

（Ⅰ）求雙曲線的方程；

（Ⅱ）過的直線交于、兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，問是否能成立？若成立，求直線的方程；若不成立，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）依題意知的兩條漸近線相互垂直，且點(diǎn)到任一條漸近線的距離為，

故雙曲線的方程為．                            

（Ⅱ）這樣的直線不存在，證明如下：                      

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，結(jié)論不成立                        

當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，并設(shè)、

由知                             

則                                          

故

這不可能

    綜上可知，不存在這樣的直線．              

【解析】略