Question

已知向量，O是坐標原點，動點P滿足：
（1）求動點P的軌跡；
（2）設B、C是點P的軌跡上不同兩點，滿足，在x軸上是否存在點A（m，0），使得，若存在，求出實數m的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）令P（x，y），由模的坐標表示與內積的坐標表示即可得到點P的軌跡方程．
（2）設BC：x=ky設B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），將直線的方程與點P的軌跡方程聯立得到B，C兩點的坐標與參數k的關系，再由，得到（x₁-m）（x₂-m）+y₁y₂=0，建立起參數m，k的方程，由其形式作出判斷求參數的取值范圍，若能求出則說明存在，否則說明不存在．
解答：解：（1）令P（x，y），則

∴即y²=4（x+1）（4分）
（2）存在⇒-2≤m＜-1或m≥2使得，
設BC：x=ky設B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）
⇒y²-4ky-4=0
y₁+y₂=4k，y₁y₂=-4（6分）
∵
即（x₁-m）（x₂-m）+y₁y₂=0即
（k²+1）y₁y₂-mk（y₁+y₂）+m²=0（8分）
∴-4（k²+1）-mk-4k+m²=0
（4m+4）k²=m²-4（10分）
若存在則⇒-2≤m＜-1或m≥2．（12分）
點評：本題考查平面向量的正交分解與坐標表示，解題的關鍵是由向量的坐標表示與模與內積的坐標表示求出點P的軌跡方程以及利用直線與圓錐曲線的位置關系及向量的內積為0建立起參數的方程．本題綜合性強運算量大，思維含量較大，極易因變形及運算出錯，解題時要嚴謹認真．