Question

如圖，某新建小區有一片邊長為1（單位：百米）的正方形剩余地塊ABCD，中間部分MNK是一片池塘，池塘的邊緣曲線段MN為函數y=

2

9x

(

1

3

≤x≤

2

3

)的圖象，另外的邊緣是平行于正方形兩邊的直線段．為了美化該地塊，計劃修一條穿越該地塊的直路（寬度不計），直路l與曲線段MN相切（切點記為P），并把該地塊分為兩部分．記點P到邊AD距離為t，f（t）表示該地塊在直路左下部分的面積．
（1）求f（t）的解析式；
（2）求面積S=f（t）的最大值．

Answer 1

（1）因為y=

2

9x

，所以y′=-

2

9x2

，又P（t，

2

9t

），
所以過點P的切線方程為y-

2

9t

=-

2

9t2

(x-t)，即y=-

2

9t2

x+

4

9t

，
令x=0，得y=

4

9t

，令y=0，得x=2t．
所以切線與x軸交點E（2t，0），切線與y軸交點F(0，

4

9t

)．
①當

2t≤1 4 9t ≤1 1 3 ≤t≤ 2 3

，即

4

9

≤t≤

1

2

時，切線左下方的區域為一直角三角形，
所以f(t)=

1

2

×2t×

4

9t

=

4

9

；
②當

2t＞1 4 9t ≤1 1 3 ≤t≤ 2 3

，即

1

2

＜t≤

2

3

時，切線左下方的區域為一直角梯形，
f(t)=

1

2

(

4

9t

+

4t-2

9t2

)•1=

4t-1

9t2

；
③當

2t≤1 4 9t ＞1 1 3 ≤t≤ 2 3

，即

1

3

≤t＜

4

9

時，切線左下方的區域為一直角梯形，
所以f(t)=

1

2

(

4t-9t2

2

+2t)•1=2t-

9

4

t2．
綜上f(t)=

2t- 9 4 t2， 1 3 ≤t＜ 4 9 4 9 ， 4 9 ≤t≤ 1 2 4t-1 9t2 ， 1 2 ＜t≤ 2 3

．
（2）當

1

3

≤t＜

4

9

時，f(t)=2t-

9

4

t2=-

9

4

(t-

4

9

)2+

4

9

＜

4

9

，
當

1

2

＜t≤

2

3

時，f(t)=

4t-1

9t2

=-

1

9

(

1

t

-2)2+

4

9

＜

4

9

，
所以Smax=

4

9

．
所以面積S=f（t）的最大值為

4

9

．