Question

已知函數f（x）=a-

2

2x+1

（x∈R），a為實數
（1）試用單調性定義證明對任意實數a，f（x）在其定義域上為增函數；
（2）試確定a的值，使f（x）為奇函數．

Answer 1

（1）設x₁＜x₂
∵f（x₁）-f（x₂）=-

2

2x1+1

+

2

2x2+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，
由題設可得 2x1-2x2＜0，2x1+1＞0，2x2+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，故函數在其定義域上為增函數．
（2）要使f（x）為奇函數，需f（0）=a-

2

1+1

=0，解得a=1．
經過檢驗，當a=1時，函數f（x）滿足f（-x）=-f（x），f（x）為奇函數．