Question

【題目】如圖，雙曲線 =1（a，b＞0）的兩頂點為A1 ， A2 ， 虛軸兩端點為B1 ， B2 ， 兩焦點為F1 ， F2 ． 若以A1A2為直徑的圓內切于菱形F1B1F2B2 ， 切點分別為A，B，C，D．則： （Ⅰ）雙曲線的離心率e=；
（Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面積S1與矩形ABCD的面積S2的比值 = ．

Answer 1

【答案】；
【解析】解：（Ⅰ）直線B2F1的方程為bx﹣cy+bc=0，所以O到直線的距離為
∵以A1A2為直徑的圓內切于菱形F1B1F2B2 ，
∴ =a
∴（c2﹣a2）c2=（2c2﹣a2）a2
∴c4﹣3a2c2+a4=0
∴e4﹣3e2+1=0
∵e＞1
∴e=
（Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面積S1=2bc
設矩形ABCD，BC=2n，BA=2m，∴
∵m2+n2=a2 ， ∴ ，
∴面積S2=4mn=
∴ = =
∵bc=a2=c2﹣b2
∴
∴ =
故答案為： ，
（Ⅰ）直線B2F1的方程為bx﹣cy+bc=0，所以O到直線的距離為 ，根據以A1A2為直徑的圓內切于菱形F1B1F2B2 ， 可得 =a，由此可求雙曲線的離心率；
（Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面積S1=2bc，求出矩形ABCD的長與寬，從而求出面積S2=4mn= ，由此可得結論．