Question

【題目】已知變量，滿足下列條件：．

（1）求的最大值；

（2）求的最小值；

（3）求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）無最大值．（2）無最小值．（3）最小值是3．

【解析】

根據題意作出可行域

（1）將改寫成，即為直線在軸上的截距，根據可行域可得出結論.
（2）直線，變形為．問題轉而求直線在軸上截距的最小值．根據可行域可得出結論.
（3）寫成．即先求直線在軸上截距的最大值，從而求出的最小值,幾何可行域可得出答案.

解 如圖所示，畫出直線（虛線）；（實線）；（實線）．

則不等式組滿足的平面區域如圖所示的陰影部分．

（1）將改寫成，即為直線在軸上的截距，

求的最大值即求直線在軸上截距的最大值．

由于滿足條件的平面區域不是封閉的．和的取值均無上界，故直線在軸上截距無最大值，即無最大值．

（2）直線，同理變形為．問題轉而求直線在軸上截距的最小值．

當直線過時看似取最小值，但點不包括在平面區域內，故也無最小值．

（3）寫成．即先求直線在軸上截距的最大值，從而求出的最小值．

由可得點坐標為，

作直線．平移可知過點時，直線在軸上截距最大，即此時最小．

將代入，得，

所以的最小值是3．