Question

【題目】在矩形ABCD中，，，沿矩形對角線BD將折起形成四面體ABCD，在這個過程中，現在下面四個結論：①在四面體ABCD中，當時，；②四面體ABCD的體積的最大值為；③在四面體ABCD中，BC與平面ABD所成角可能為；④四面體ABCD的外接球的體積為定值.其中所有正確結論的編號為( )

A.①④B.①②C.①②④D.②③④

Answer 1

【答案】C

【解析】

對四個結論逐一分析判斷，

對于①，利用翻折前后這個條件不變，易得平面，從而；

對于②，當平面平面時，四面體ABCD的體積最大，易得出體積；

對于③，當平面平面時，BC與平面ABD所成的角最大，即，計算其正弦值可得出結果；

對于④，在翻折的過程中，BD的中點到四面體四個頂點的距離均相等，所以外接球的直徑恒為BD，體積恒為定值.

如圖，當時，∵，∴平面，

∵平面，∴，即①正確；

當平面平面時，四面體ABCD的體積最大，最大值為，即②正確；

當平面平面時，BC與平面ABD所成的角最大，為，而，

∴BC與平面ABD所成角一定小于，即③錯誤；

在翻折的過程中，和始終是直角三角形，斜邊都是BD，其外接球的球心永遠是BD的中點，外接球的直徑為BD，

∴四面體ABCD的外接球的體積不變，即④正確.

故正確的有①②④.

故選：C.