Question

把邊長為2的正三角形ABC沿BC上的高AD折成直二面角，設折疊后BC的中點為P，
（I）求異面直線AC，PD所成的角的余弦值；
（II）求二面角C-AB-D的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）以D為坐標原點，DB、AD、DC所在直線分別為x，y，z軸建立直角坐標系，求出向量

AC

和

DP

的坐標，利用向量的夾角公式即可求出所成角；
（Ⅱ）要求二面角C-AB-D的大小，即分別求出兩平面的法向量，然后利用向量的夾角公式即可求出法向量的夾角，從而求出二面角的大小．

解答：解：（I）如圖，以D為坐標原點，DB、AD、DC所在直線分別為x，y，z軸建立直角坐標系．則A(0，-

3

，0)，B(1，0，0)，C(0，0，1)，P(

1

2

，0，

1

2

)，D(0，0，0)）
∴

AC

=(0，

3

，1)，

PD

=(

1

2

，0，

1

2

)
∴cos＜

AC

，

DP

＞=

AC • DP

| AC || DP |

=

2

4

所以，異面直線AC與BD所成角的余弦值為

2

4

（II）面DAB的一個法向量為

n1

=(0，0，1)
設面ABC的一個法向量

n2

=(x，y，z)，
則

n1 • AC =0 n2 • AB =0

?

3 y+z=0 x+ 3 y=0

，
取

n2

=(3，-

3

，3)，
則∴cos＜

n1

，＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

21

7

∴二面角C-AB-D的大小為arccos

21

7

點評：本小題主要考查異面直線所成的角，以及空間向量和二面角等基礎知識，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎題．