Question

設橢圓C∶＋＝1(a>b>0)過點(0,4)，離心率為.
(1)求C的方程；
(2)求過點(3,0)且斜率為的直線被C所截線段的中點坐標．

Answer 1

(1)＋＝1；(2) (，－)．

解析試題分析：(1)由已知可得b＝4，再由在橢圓中有：及離心率，可求得a的值，從而就可寫出橢圓C的方程；(2)由已知可寫出過點(3,0)且斜率為的直線方程，將此直線方程代入橢圓C的方程中，解此方程就可求得直線被C所截線段的兩個端點的橫坐標，從而求得線段中點的橫坐標，再代入直線方程就可得到線段中點的縱坐標，若方程不好解，注意韋達定理可直接求得所求線段中點的橫坐標，進而可得線段中點的坐標．
試題解析：(1)將(0,4)代入C的方程得＝1，∴b＝4，
由e＝＝得＝，即1－＝，∴a＝5，∴C的方程為＋＝1.
(2)過點(3,0)且斜率為的直線方程為 y ＝(x－3)，設直線與C的交點為A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，將直線方程y＝ (x－3)代入C的方程，得＋＝1，即x²－3x－8＝0，解得
x₁＝，x₂＝，
∴AB的中點坐標＝＝，
＝＝(x₁＋x₂－6)＝－，
即中點坐標為(，－)．
考點：１．橢圓方程；２．直線與橢圓的位置關系．