Question

已知函數(shù)f(x)=

x2

ax+b

(a，b為常數(shù))，且方程f（x）-1=0有兩個(gè)實(shí)根為x₁=-2，x₂=1
（1）求函數(shù)f（x）的解析式
（2）設(shè)k＞1，解關(guān)于x的不等式：f(x)＜

(k+1)x-k

2-x

．

Answer 1

（1）∵函數(shù)f(x)=

x2

ax+b

(a，b為常數(shù))，且方程f（x）-1=0有兩個(gè)實(shí)根為x₁=-2，x₂=1，
∴將x₁=-2，x₂=1分別代入方程

x2

ax+b

-1=0，
∴

4 -2a+b -1=0 1 a+b -1=0

，解得

a=-1 b=2

，
故f(x)=

x2

2-x

(x≠2)；
（2）由（1）可知，f(x)=

x2

2-x

(x≠2)，
∴不等式f(x)＜

(k+1)x-k

2-x

即為

x2

2-x

＜

(k+1)x-k

2-x

，
整理可得，

x2-(k+1)x+k

2-x

＜0，
即（x-2）（x-1）（x-k）＞0，
①當(dāng)1＜k＜2時(shí)，不等式的解集為（1，k）∪（2，+∞）；
②當(dāng)k=2時(shí)，不等式即為（x-2）²（x-1）＞0，
∴不等式的解集為（1，2）∪（2，+∞）；
③當(dāng)k＞2時(shí)，不等式的解集為（1，2）∪（k，+∞）．
綜合①②③可得，當(dāng)1＜k＜2時(shí)，不等式的解集為（1，k）∪（2，+∞），
當(dāng)k=2時(shí)，不等式的解集為（1，2）∪（2，+∞），
當(dāng)k＞2時(shí)，不等式的解集為（1，2）∪（k，+∞）．