Question

已知橢圓C：

x2

a2

+y2=1(a＞1)的右焦點為F（c，0）（c＞1），點P在圓O：x²+y²=1上任意一點（點P第一象限內），過點P作圓O的切線交橢圓C于兩點Q、R．
（1）證明：|PQ|+|FQ|=a；
（2）若橢圓離心率為

3

2

，求線段QR長度的最大值．

Answer 1

分析：（1）設Q（x₁，y₁）（x₁＞0），先求得|FQ|；再利用PQ是圓x²+y²=1的切線，求出|PQ|，即可證得結論；
（2）利用橢圓離心率為

3

2

，可求得a．
方法一：設直線QR的方程為y=kx+m，利用直線QR與圓O相切，可得m²=k²+1，將直線方程代入橢圓方程，從而可求|QR|，再利用基本不等式，即可求得結論；
方法二：設P（x₀，y₀），Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂），則直線QR的方程為x₀x+y₀y=1，與橢圓方程聯立，從而可求|QR|，再利用基本不等式，即可求得結論．

解答：（1）證明：設Q（x₁，y₁）（x₁＞0），得|FQ|=a-ex₁，…（3分）
∵PQ是圓x²+y²=1的切線，∴|PQ|=

|OQ|2-|OP|2

=

x 2 1 + y 2 1 -1

，
∵

x12

a2

+y12=1，∴|PQ|=

x 2 1 +(1- x 2 1 a2 )-1

=

(1- 1 a2 ) x 2 1

=ex1，…（6分）
所以|PQ|+|FQ|=a．                                  …（7分）
（2）解：由題意，e=

a2-1

a

=

3

2

，∴a=2．                …（9分）
方法一：設直線QR的方程為y=kx+m，∵點P在第一象限，∴k＜0，m＞0．
由直線QR與圓O相切，∴

|m|

k2+1

=1，∴m²=k²+1．        …（11分）
由

y=kx+m x2 4 +y2=1

，消y得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
設R（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x1+x2=-

8km

1+4k2

．
由（1）知，|QR|=e(x1+x2)=

3

2

(-

8km

1+4k2

)=4

3

•

|k|m

1+4k2

=4

3

•

|k|m

m2+3k2

，…（14分）
∵m2+3k2≥2

3

m|k|，∴|QR|≤4

3

•

1

2 3

=2．
當且僅當m=-

3

k時，|QR|取最大值2，此時直線QR的方程為y=k(x-

3

)，過焦點F．…（16分）
方法二：設P（x₀，y₀），Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂），則直線QR的方程為x₀x+y₀y=1．             …（11分）
由

x0x+y0y=1 x2+4y2=4

，消y得(

y

2 0

+4

x

2 0

)x2-8x0x+4-4

y

2 0

=0，則x1+x2=

8x0

y 2 0 +4 x 2 0

，
∵

x

2 0

+

y

2 0

=1，∴x1+x2=

8x0

1+3 x 2 0

，
由（1）知，|QR|=e(x1+x2)=

3

2

•

8x0

1+3 x 2 0

=4

3

•

x0

1+3 x 2 0

=4

3

•

1

1 x0 +3x0

，…（14分）
∵

1

x0

+3x0≥2

3

，∴|QR|≤4

3

•

1

2 3

=2，
當且僅當x0=

3

3

時，|QR|取最大值2，此時P(

3

3

，

6

3

)，直線QR過焦點F．  …（16分）

點評：本題考查橢圓的定義，考查直線與圓、橢圓的位置關系，考查基本不等式的運用，正確表示|QR|是關鍵．