Question

如圖，在三棱錐中，，，，點、、分別為、、的中點.

（1）求直線與平面所成角的正弦值；
（2）求二面角的大小.

Answer 1

（1）（2）二面角的正切值為

試題分析：解：（法一）（1）連接，與的交點為，在中, .
,點為的中點，.又面，則.
則面，而∥，則面,
為直線與平面所成的角, 面，,.
又，.

,,
在中，,
直線與平面所成角的正弦值為             6分
（2）過點作于點,連接,
,平面，即為在平面內的射影， 為二面角的平面角.
中，,,
二面角的正切值為.        12分
(法二)建立間直角坐標系如圖，則,,,,,

(1)由已知可得，=為平面的法向量=,
.
直線與面所成角的正弦值為.          6分
（2）設平面的法向量為，,
，，令，
由已知可得，向量為平面的一個法向量,

二面角為 .        12分
點評：解決的關鍵是熟練的根據判定定理和性質定理來得到角，結合三角形求解，或者利用向量法來求解，屬于中檔題。