Question

【題目】已知橢圓 （a＞b＞0）的右焦點F（1，0），離心率為 ，過F作兩條互相垂直的弦AB，CD，設AB，CD的中點分別為M，N．

（1）求橢圓的方程；
（2）證明：直線MN必過定點，并求出此定點坐標；
（3）若弦AB，CD的斜率均存在，求△FMN面積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意：c=1， = ，

∴a= ，b=c=1，

則橢圓的方程為 +y2=1

（2）證明：∵AB，CD斜率均存在，

∴設直線AB方程為：y=k（x﹣1），

再設A（x1，y1），B（x2，y2），則有M（ ，k（ ﹣1）），

聯立得： ，

消去y得：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，

∴ ，即M（ ， ），

將上式中的k換成﹣ ，同理可得：N（ ， ），

若 = ，解得：k=±1，直線MN斜率不存在，

此時直線MN過點（ ，0）；

下證動直線MN過定點P（ ，0），

若直線MN斜率存在，則kMN= = = × ，

直線MN為y﹣ = × （x﹣ ），

令y=0，得x= + × = × = ，

綜上，直線MN過定點（ ，0）

（3）解：由第（2）問可知直線MN過定點P（ ，0），

故S△FMN=S△FPM+S△FPN= × | |+ × | = × ，

令t=|k|+ ∈[2，+∞），S△FMN=f（t）= × = × ，

∴f（t）在t∈[2，+∞）單調遞減，

當t=2時，f（t）取得最大值，即S△FMN最大值 ，此時k=±1．

【解析】（1）根據題意確定出c與e的值，利用離心率公式求出a的值，進而求出b的值，確定出橢圓方程即可；（2）由直線AB與CD向量存在，設為k，表示出AB方程，設出A與B坐標，進而表示出M坐標，聯立直線AB與橢圓方程，消去y得到關于x的一元二次方程，利用根與系數的關系表示出M，同理表示出N，根據M與N橫坐標相同求出k的值，得到此時MN斜率不存在，直線MN恒過定點；若直線MN斜率存在，表示出直線MN斜率，進而表示出直線MN，令y=0，求出x的值，得到直線MN恒過定點，綜上，得到直線MN恒過定點，求出定點坐標即可；（3）根據P坐標，得到OP的長，由OF﹣OP表示出PF長，三角形MNF面積等于三角形PMF面積加上三角形PNF面積，利用基本不等式求出面積的最大值即可．