Question

【題目】如圖，在四棱錐S﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為1的菱形， 底面ABCD，SA=2，M為SA的中點．

（1）求異面直線AB與MD所成角的大小；
（2）求直線AS與平面SCD所成角的正弦值；
（3）求平面SAB與平面SCD所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：在平面ABCD中，過點A作AF⊥AB，交CD與F，

以A為原點，AB，AF，AS所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，

A（0，0，0），B（1，0，0），M（0，0，1），D（﹣ ， ，0），

=（1，0，0）， =（﹣ ， ，﹣1），

設異面直線AB與MD所成角為α，

則cosα= = = ，

∴ ．

∴異面直線AB與MD所成角為

（2）解：S（0，0，2），C（1﹣ ， ，0），

=（0，0，2）， =（1﹣ ， ，﹣2）， =（﹣ ， ，﹣2），

設平面SCD的法向量 =（x，y，z），

則 ，取z=1，得 =（0，2 ，1），

設直線AS與平面SCD所成角為β，

則sinβ=|cos＜ ＞|= = = ，

∴直線AS與平面SCD所成角的正弦值為

（3）解：∵平面SCD的法向量 =（0，2 ，1），

平面SAB的法向量 =（0，1，0），

∴cos＜ ＞= = ，

∴平面SAB與平面SCD所成銳二面角的余弦值為 ．

【解析】（1）在平面ABCD中，過點A作AF⊥AB，交CD與F，以A為原點，AB，AF，AS所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線AB與MD所成角．（2）求出平面SCD的法向量，利用向量法能求出直線AS與平面SCD所成角的正弦值．（3）求出平面SCD的法向量和平面SAB的法向量，利用向量法能求出平面SAB與平面SCD所成銳二面角的余弦值．
【考點精析】認真審題，首先需要了解異面直線及其所成的角(異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；2、補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發現兩條異面直線間的關系)，還要掌握空間角的異面直線所成的角(已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則)的相關知識才是答題的關鍵．