Question

已知圓C過兩點M（2，2），N（1，3），且圓心C在直線3x-y-3=0上，點A（3，5）
（1）求圓C的方程；
（2）求過點A的圓C的切線方程；
（3）O點是坐標原點，連結OA，OC，求△AOC的面積S．

Answer 1

分析：（1）由題意可求MN的垂直平分線得方程，聯立已知直線可得圓心C的坐標，由距離公式可得MC，即圓的比較，由圓的標準方程可得；
（2）設直線方程為y-5=k（x-3），由圓心到直線的距離等于半徑可得k值，可得直線，驗證直線無斜率的情形可得；
（3）由距離公式可得|AO|，可得點C到直線OA的距離d，代入面積公式可得．

解答：解：（1）由中點坐標公式可得MN的中點為（

3

2

，

5

2

），
MN的斜率為

2-3

2-1

=-1，∴MN的垂直平分線的斜率為1，
故MN的垂直平分線為y-

5

2

=x-

3

2

，即y=x+1，
聯立

3x-y-3=0 y=x+1

解得x=2，y=3，即圓心C（2，3），
由距離公式可得MC²=（2-2）²+（3-2）²=1，
∴圓C的方程為：（x-2）²+（y-3）²=1
（2）當切線的斜率不存在時，過點A的直線方程為x=3，
圓心C（2，3）到直線的距離為1，滿足條件．
當斜率存在時，設直線方程為y-5=k（x-3），即kx-y+5-3k=0，
由直線與圓相切得

|-k+2|

k2+1

=1，∴k=

3

4

．
∴直線方程為x=3或y=

3

4

x+

11

4

，即x=3，或3x-4y+11=0
（3）由距離公式可得|AO|=

9+25

=

34

，
直線OA的方程為5x-3y=0，
∴點C到直線OA的距離d=

1

34

，
∴△AOC的面積S=

1

2

d|AO|=

1

2

點評：本題考查圓的方程的求解以及圓的切線方程，涉及分類討論的思想，屬中檔題．