Question

已知點P在直線x+y+5=0上，點Q在拋物線y²=2x上，則|PQ|的最小值等于

 

．

Answer 1

分析：設與直線x+y+5=0平行切與拋物線相切的直線為y=-x+b則可知|PQ|的最小值即為兩直線的距離．直線方程y=-x+b與拋物線方程聯立，消去x根據判別式等于0求得b，進而求得直線與拋物線的切點，最后根據點到直線的距離公式求得答案．

解答：解：設與直線x+y+5=0平行且與拋物線相切的直線為y=-x+b則可知|PQ|的最小值即為兩直線間的距離．
則

y=-x+b y 2=2x

消去x得y²+2y-2b=0，△=4+8b=0
∴b=-

1

2

，進而可得直線y=-x+b與拋物線交點為（

1

2

，-1）
交點到直線x+y+5=0的距離為

1 2 -1+5

2

=

9 2

4

故答案為

9 2

4

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．常涉及直線與圓錐曲線聯立方程，根據判別式來判斷直線與圓錐曲線的關系．