Question

已知函數f（x）=3

x-1

+2

2-x

的最大值為M．
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）解關于x的不等式|x-1|+|x+3|≥M²．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法,柯西不等式,函數的最值及其幾何意義

專題：計算題,分類討論,函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）運用柯西不等式，即可得到最大值M；
（Ⅱ）運用零點分區間的方法，討論①當x≤-3時，②當-3＜x＜1時，③當x≥1時，去掉絕對值解不等式，求交集，最后求并集即可得到．

解答： 解：（Ⅰ）由柯西不等式，可得（3

x-1

+2

2-x

）²≤（9+4）（x-1+2-x）=13，
則有3

x-1

+2

2-x

≤

13

，當且僅當x=

22

13

時，等號成立，
即有M=

13

；
（Ⅱ）不等式|x-1|+|x+3|≥M²．即為|x-1|+|x+3|≥13．
①當x≤-3時，原不等式可化為-2-2x≥13，解得x≤-

15

2

，則有x≤-

15

2

；
②當-3＜x＜1時，原不等式可化為1-x+x+3≥13，此時不等式無解；
③當x≥1時，原不等式可化為x-1+x+3≥13，解得x≥

11

2

，則有x≥

11

2

．
綜上可得，原不等式的解集為{x|x≤-

15

2

或x≥

11

2

}．

點評：本題考查絕對值不等式的解法，考查柯西不等式的運用：求最值，考查分類討論的思想方法，考查運算能力，屬于中檔題．