Question

（2007•崇明縣一模）某地區從2007年開始通過投資綠色生態環境建設，以此發展旅游產業．已知2007年投入8000萬元，旅游收入1250萬元左右．根據規劃，從2008年起投入將逐年減少，比上一年少投入1000萬元，但確保每年投入不少于2000萬元；預計今后每年的旅游收入會比上年增長25%．
（1）設第n年（2007年為第1年）內的投入為a_n萬元，旅游收入為b_n萬元，寫出a_n與b_n的表達式；
（2）從2007年算起，至少經過多少年，該地區旅游業的總收入才能超過總投入？

Answer 1

分析：（1）分別寫出第1年到第7年的投入量，第7年以后的投入量，從而利用分段函數求出n年內的總投入量a_n，再由第1年旅游業收入為1250萬元，第2年旅游業收入為1250×（1+

1

4

）萬元，歸納出第n年旅游業收入為1250×（1+

1

4

）^n-1萬元．從而得出n年內的旅游業總收入b_n．
（2）先設至少經過n年旅游業的總收入才能超過總投入，由S_n＞T_n，解得n的取值范圍即可．

解答：解：（1）an=

8000-(n-1)1000  &(1≤n≤7) 2000 ，& &(n＞8)

（4分）
bn=1250×(

5

4

)n-1（8分）
（2）設數列{a_n}的前n項和為S_n，數列{b_n}的前n項和為T_n
則Sn=

-500n2+8500n  &(1≤n≤7) 21000+2000n  & &(n＞8)

（2分）Tn=5000[(

5

4

)n-1]（4分）
由S_n＞T_n，由計算器算得n≥10，即至少經過10年，該地區旅游業的總收入才能超過總投入．                                                           （6分）

點評：本小題主要考查建立函數關系式、數列求和、不等式等基礎知識；考查綜合運用數學知識解決實際問題的能力．