Question

集合A={x||x-2|+|x|≤a}，B={x|log3

1

1+x

＜1}
（Ⅰ）若a=4，求A∩B；
（Ⅱ）若A⊆B，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）a=4，||x-2|+|x|≤4，分x＞2，x＜2，x=2求出集合A，求出集合B，可求A∩B；
（Ⅱ）利用（1）若a＜2，a=2，a＞2，結合A⊆B，求a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）若a=4，則|x-2|+|x|≤4，不等式可化為：

x＞2 x-2+x≤4

或

0≤x≤2 2-x+x≤4

或

x＜0 2-x-x≤4

，
解得A=[-1，3]（3分）
由log3

1

1+x

＜1得0＜

1

1+x

＜3，解得B=(-∞，-1)∪(-

2

3

，+∞)（5分）
A∩B=(-

2

3

，3]（6分）
（Ⅱ）由于|x-2|+|x|的最小值為2，且A⊆B，
①若a＜2，則A=∅，A⊆B顯然成立；
②若a=2，則A=[0，2]，A⊆B也成立；（9分）
③若a＞2，則不等式可化為：

x＞2 x-2+x≤a

或

0≤x≤2 2-x+x≤a

或

x＜0 2-x-x≤a

，
解得A=[1-

a

2

，1+

a

2

]，
∵A⊆B，∴1-

a

2

＞-

2

3

或1+

a

2

＜-1（舍去）
解得2＜a＜

10

3

（13分）
綜上，a＜

10

3

（14分）

點評：本題考查絕對值不等式的解法，集合的包含關系判斷及應用，交集及其運算，對數函數的單調性與特殊點，考查計算能力，是中檔題．