Question

已知△ABC中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，且=．
（Ⅰ）判斷△ABC的形狀，并求t=sinA+sinB的取值范圍；
（Ⅱ）若不等式a²（b+c）+b²（c+a）+c²（a+b）≥kabc，對任意的滿足題意的a，b，c都成立，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由條件，化簡可得．從而△ABC 是以C為直角頂點的直角三角形．喲與t=sinA+sinB=sin（A+），A∈（0，），故可求sinA+sinB的取值范圍為
（Ⅱ）條件a²（b+c）+b²（c+a）+c²（a+b）≥kabc，分離參數可得≥k，從而問題轉化為求的最小值，構造函數f（t）==t+=t+=t-1++1．從而問題可解．
解答：解：（Ⅰ）∵，
∴，即，即．
∴△ABC 是以C為直角頂點的直角三角形．
∴sinA+sinB=sinA+cosA=sin（A+），A∈（0，），
∴sinA+sinB的取值范圍為．-------------------------------------------（6分）
（Ⅱ）在直角△ABC中，a=csinA，b=ccosA．
若a²（b+c）+b²（c+a）+c²（a+b）≥kabc，對任意的滿足題意的a、b、c都成立，
則有≥k，對任意的滿足題意的a、b、c都成立，
∵
=[c²sin²A（ccosA+c）+c²cos²A（csinA+c）+c²（csinA+ccosA）]
=[sin²AcosA+cos²A sinA+1+cosA+sinA]=cosA+sinA+
令t=sinA+cosA，t∈，-----------------------------------------（10分）
設f（t）==t+=t+=t-1++1．
f（t）=t-1++1，當t-1∈時 f（t）為單調遞減函數，
∴當t=時取得最小值，最小值為2+3，即k≤2+3．
∴k的取值范圍為（-∞，2+3]．--------------------------（14分）
點評：本題主要考查三角形形狀的判斷，考查不等式恒成立問題，有一定的綜合性．